阿爾伯特·愛因斯坦可以說是物理界的一位奇跡，他的相對論家喻戶曉，甚至世界大戰中的原子彈也是他建議羅斯?？偨y建造的，雖然他在第一顆原子彈在日本爆炸之后反對原子彈的使用。就是這樣一位如此出眾的天才物理學家與數學之間存在著怎樣的關系呢?下面我們就通過胡作玄發表的一篇文章來看一下吧。

愛因斯坦

“愛因斯坦年”行將過去，難道關于愛因斯坦還有什么可說的呢?我想，真的還有不少題目是許多人很少談到甚至幾乎沒有談到，這個題目也許是其中的一個。

2005年號稱“愛因斯坦奇跡年”的100周年?！捌孥E年”的說法來自牛頓(牛頓的“奇跡年”大致是1665年)。通常我們把牛頓看成科學家的范例，甚至按照當時的習慣說成哲學家也不為過。(證據：十多年前，著名英國科學史學家A. S. Hall出版的《Philosophers at War》講的是牛頓—萊布尼茲的爭吵)現在專業越分越細，牛頓頭上的桂冠往往從科學家細化為數學家、力學家、物理學家、天文學家(說他是化學家比較勉強，帕廷頓(J. R. Partington)的《化學史》有整章講牛頓，但他充其量不過是個煉金術士)，他對地球形狀以及潮汐頗有研究，也可算是地學家，其他的方面可能就談不上了。愛因斯坦呢?物理學家毫無問題，數學家就比較勉強了。不過在當時，甚至現在，許多人仍把他視為數學家，最有力的證據就是他在20世紀頭20年曾和希爾伯特一起是德國著名數學專業期刊《數學年刊》的幾位編輯之一。不過由于希爾伯特與另一數學家布勞威爾(直覺主義的宗師)關于數學基礎的大戰，希爾伯特把布勞威爾趕出《數學年刊》編輯部的同時，也把愛因斯坦給開掉了。其實這并不表明愛因斯坦站在布勞威爾一邊，也不表示希爾伯特認為愛因斯坦不夠格，愛因斯坦只不過在一次編輯部改組中陪綁罷了。當時愛因斯坦只關注物理，特別是統一論和量子力學問題，他對于當時每位數學家都關注的基礎大戰并不當成一回事，并譏之為“老鼠與青蛙的戰斗”。這表明一位偉大物理學家的數學觀與當時數學家的數學觀存在著相當的差距。

實際上，不僅是物理學家，就連許多數學家都跟不上當時的形勢。1900年左右，物理學產生革命性的變革眾所周知，而數學中的變革也悄悄地進行著。等到大家都理解的時候，才驚呼看來無用的純粹數學的“不可思議的有效性”。1900年前，在物理學家眼中，數學只不過是一個仆從或者工具，這個工具有時好使，有時也不怎么樣，最典型的是非線性問題從來不好辦，物理學家沒辦法，數學家也沒辦法，數學家沒了辦法不想辦法卻“鉆”起什么存在性、唯一性之類的理論的問題。更有甚者，物理學家還認為，那些不著邊際的抽象問題，解決得了還是解決不了都是一個樣，對現實世界毫無影響。

愛因斯坦就是抱著這樣的觀點進入大學的。說起來，愛因斯坦是頗具數學天賦的。他自己說“在12歲時，我……在歐幾里得平面幾何小書經歷了第二次奇跡……”對歐幾里得神往的不只是愛因斯坦，大哲學家羅素在他的《自傳》第一卷中也談到，在11 12歲時，心情十分抑郁，甚至想到自殺，但學習歐幾里得幾何的狂喜使他從這種境地擺脫了出來。要知道，歐幾里得幾何決不是能使任何普通孩子感到興奮的。接著愛因斯坦說，“在12 16歲時，我自學包括微積分基礎在內的數學基本知識……”這兩件事說明，他對數學有著一定的興趣、感悟和能力。他學好數學乃至成為一位數學家不成問題。而且，他在1896年10月進入瑞士蘇黎世聯邦技術大學之后，更是有可能在這個培養數學家的最好環境中成為數學家，至少掌握最前沿的數學知識。愛因斯坦沒能夠這樣做，從某種意義上來講，他錯過了一次機會。

1900年左右，數學界發生了重要的思想變革，其領袖人物就是希爾伯特。而希爾伯特的思想來源，很大程度上是同比他年長3歲的胡爾維茨與比他年輕2歲的閔可夫斯基在格廷根大學期間經過8年的散步慢慢積累起來的。而愛因斯坦上學期間，胡爾維茨是教授，閔可夫斯基是副教授，他完全有機會親自得到他們的口傳心授。當時，愛因斯坦的同班同學只有4個人。但是，愛因斯坦對物理學的興趣遠遠大于數學，加上他獨立不羈的性格，經常逃課。他的表現用閔可夫斯基的話講最為透徹：“愛因斯坦在學生時期是條懶狗。他一點也不為數學操心?！睈垡蛩固沟莫M義相對論的確使閔可夫斯基大吃一驚，但是，真正認識到狹義相對論價值并且從哲學和數學上推進一大步的也正是閔可夫斯基。用愛因斯坦的話說，正是閔可夫斯基第一次把時間和空間聯系在一起成為四維時空。另一個相關的發展則是群的觀念，這對愛因斯坦當然是陌生的，只有在后來愛因斯坦才認識到這種數學的價值。

如果說，提出狹義相對論，愛因斯坦的知識還算夠用的話，到廣義相對論，愛因斯坦則捉襟見肘。他不得不求助于他的同學格羅斯曼。從黎曼開始發展的黎曼幾何和張量分析仿佛是為廣義相對論定做的工具，格羅斯曼正好是這方面的行家。不可否認，愛因斯坦學這一套數學頗為吃力。實際上，愛因斯坦的廣義相對論大大推動了黎曼幾何學的發展，另一方面數學家則依他們的習慣對廣義相對論進行了推廣，以致愛因斯坦有一次自嘲道：“自從數學家搞起相對論研究之后，我自己就不再懂它了。”也正是由于這個原因，在1915年出現了希爾伯特和愛因斯坦的“優先權之爭”。

廣義相對的核心是引力場方程。1915年11月25日愛因斯坦在柏林發表了他的場方程，而希爾伯特早幾天也推導出來了。但是，兩人之間并沒有什么“爭”。希爾伯特一直認為愛因斯坦是相對論的惟一創始人，正因為有了愛因斯坦的問題、理論和方法，才能在這個基礎上得出場方程。希爾伯特顯然在數學上十分擅長，他是從變分原理得出的。愛因斯坦則是通過另外的方法得出的。在這個問題上，物理的概念仍然是必不可少的基礎。

統一場論是愛因斯坦下一個目標，在這方面，數學家又顯示出自己的優勢。最早的嘗試是大數學家外爾提出的。他首先提出了規范不變性的問題。但是，愛因斯坦從物理概念上批判外爾的理論。實際上從非歐幾何出現之后，數學家已經飛躍到自由的王國，不再受現實的物理世界的束縛，而只關心數學的邏輯完整性。統一場論至今仍懸而未決，而在當時，還根本不可能了解另外兩種相互作用：強相互作用和弱相互作用。愛因斯坦去世之后，這兩種相互作用同電磁相互作用形成了“大統一理論”，其中外爾開創的規范理論的作用不可低估。而現在試圖把引力包括進來的理論，基本上可以說是一種數學的理論。20世紀末，物理學與數學這一對離婚長達一個多世紀的歡喜冤家仿佛又在談論復婚的問題。但是，這些新興的數學似乎并不是愛因斯坦所樂于見到的。

廣義相對論發展的另一個方向是宇宙學。無疑，愛因斯坦是現代宇宙學的奠基人，他的出發點仍是去解場方程。但是，場方程只給出局部的圖像，而難以拼出整體圖像。在宇宙形狀或宇宙結構這個大問題上，人們的認識仿佛又回到哥倫布時代。哥倫布時代的主要問題頭一個是拓撲問題，也就是地球表面是否是一個球面，是開的還是閉的。翻開過去的歷史，就知道這個問題上主要有三種看法：地圓說、地平說，還有一種實際上無所謂。哥倫布第一步走對了，他相信地圓說。在這一步確定之后就可以走第二步了，哥倫布的度量少了1/3，這種有意無意的錯誤使他獲得資助。在宇宙學上，我們又碰到同樣的問題：先是拓撲的，后是度量的。這種區別首先是黎曼明確考慮到的，他區別幾何圖形的度量性質和非度量性質，而且還要明確局部性質與整體性質的不同，單純由局部性質不太能判斷整體性質，研究整體的拓撲性質需要另起爐灶，其結果是拓撲學。在對高斯、黎曼的內蘊幾何學不熟悉的情形下，愛因斯坦采取一個更原始的方法，也就是把四維時空嵌入到五維中去，而這就造成新的麻煩。也許這是愛因斯坦晚期工作不太成功的另一種原因。

從胡作玄的文章中我們可以看到愛因斯坦的物理成就與數學有著很大的關聯，在自己數學知識不足的情況下求助于自己的數學朋友，體現了數學與物理的完美結合可以創造出巨大的成就。所以，對于想要出國留學學習物理專業的朋友們來說，學好數學也是必要的。